বাস্তব সংখ্যা কাকে বলে: গণিতের বিভিন্ন সংখ্যা রয়েছে যা গণনা করা এবং বিশ্লেষণার সুবিধার্থে বিভিন্ন ভাগে ভাগ করা হয়েছে। তার মধ্যে বাস্তব সংখ্যা হল অন্যতম।
এজন্য গণিতের বিভিন্ন সংখ্যার ধারা বা সংখ্যার প্রকারভেদসমূহ জানার জন্য বাস্তব সংখ্যা সম্পর্কে জানা প্রয়োজন। তাই উক্ত পোস্টের মাধ্যমে আমরা আপনাদেরকে বাস্তব সংখ্যা সম্পর্কে বিভিন্ন তথ্য এবং বাস্তব সংখ্যার প্রকারভেদ আলোচনা করার মাধ্যমে জানাচ্ছি।
গণিতের বিভিন্ন সংখ্যাগুলোকে বিভিন্ন ভাগে ভাগ করার মাধ্যমে বিভিন্ন গণিতের ক্ষেত্রে বা অংক করার ক্ষেত্রে ব্যবহার করা হয়ে থাকে। এজন্য প্রতিটি শিক্ষার্থী এবং শিক্ষকদের গণিতের সংখ্যা সমূহের বিভিন্ন ধারা এবং প্রকারভেদ বা শ্রেণির সম্পর্কে যথাযথভাবে জানা প্রয়োজন।
সেকাকে তো অন্যান্য প্রতিটি ক্ষেত্রে গণিতের বিভিন্ন সংখ্যা বা ধারার গুরুত্ব এবং প্রয়োজনীয়তা অপরিসীম। তাই গণিতের এ সকল তথ্য ধারা এবং সংখ্যা সমূহ সমূহ সম্পর্কে জানার প্রয়োজনীয়তা রয়েছে।
বাস্তব সংখ্যা কি কি?
বাস্তব সংখ্যা হল মূলদ সংখ্যা অমূলদ সংখ্যা প্রাকৃতিক সংখ্যা দশমিক সংখ্যা এবং ভগ্নাংশ সংখ্যা ইত্যাদি।
বিভিন্ন বাস্তব সংখ্যা সমূহ নিম্নরূপ :-
১,,২,, ৩,,৪,,৫,,৬,,৭,,৮,,৯,,১০,,১১,,১২,,১৩,,১৪,, ১৫,, ১৬,, ১৭,,১৮,,১৯,,২০।
-১,-২,-৩,-৪,-৫,-৬,-৭,-৮,-৯,-১০,-১১,-১২,-১৩,-১৪,-১৫,-১৬,
-১৭,-১৮,-১৯,-২০,,,,,,,১/২,২/৩,৩/৪, ৪/৬,,৪/৫,,৭/৮,,৭/৯,,৫/৯,,৩/৮,,২/৯,,৫/১৮,,৪/১১,,৩/২৩,,ইত্যাদি বিভিন্ন সংখ্যা।
বাস্তব সংখ্যা কাকে বলে
যে সকল সংখ্যাগুলোকে মূলত এবং অমূলদ উভয় সংখ্যার মিলন হিসেবে সংগ্রহীত করা যেতে পারে সেই সকল সংগ্রাম সংখ্যাগুলোকে বাস্তব সংখ্যা বলে।
বাস্তব সংখ্যাগুলো ইতিবাচক হতে পারে আবার নেতিবাচক হতে পারে। বাস্তব সংখ্যা কে R চিহ্নটি দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।
অন্যভাবে বলা যায়, যে সকল সংখ্যাগুলো অর্থাৎ প্রাকৃতিক সংখ্যা দশমিক সংখ্যা ভগ্নাংশ সংখ্যা ইত্যাদি বিভাগের অধীনে আসার সকল সংখ্যাগুলোকে বাস্তব সংখ্যা বলা হয়।
বাস্তব সংখ্যা কি কি ও কত প্রকার
বাস্তব সংখ্যা সাধারণত দুই প্রকার।
যথা:-
১. মূলদ সংখ্যা।
২. অমলদ সংখ্যা।
১. মূলদ সংখ্যা :
যে সকল সংখ্যাগুলোকে {p/q;p,q Z, q≠0}{p/q;p,q Z,q≠0} আকারে প্রকাশ করা যায় সেই সকল সংখ্যাগুলোকে মূলদ সংখ্যা বলা হয়।
২. অমূলদ সংখ্যা :
সাধারণভাবে যে সংখ্যা সেটের মধ্যে যে সকল সংখ্যা মৌলিক নয় সেগুলোকে অমৌলিক সংখ্যা বলা হয়ে থাকে।
যেমন :- ২,৪,৬,৮ ইত্যাদি।
বাস্তব সংখ্যা উদাহরণ
বাস্তব সংখ্যার বিভিন্ন ধরনের উদাহরণ রয়েছে। নিম্নে বাস্তব সংখ্যার উদাহরণসমূহ তুলে ধরা হলো :
১,,২,, ৩,,৪,,৫,,৬,,৭,,৮,,৯,,১০,,১১,,১২,,১৩,,১৪,, ১৫,, ১৬,, ১৭,,
১৮,,১৯,,২০।
-১,-২,-৩,-৪,-৫,-৬,-৭,-৮,-৯,-১০,-১১,-১২,-১৩,-১৪,-১৫,-১৬,
-১৭,-১৮,-১৯,-২০,,,,,,,
১/২,২/৩,৩/৪, ৪/৬,,৪/৫,,৭/৮,,৭/৯,,৫/৯,,৩/৮,,২/৯,,৫/১৮,,৪/১১,,৩/২৩,,
√৩,, ২২/৭,, √৭,, √৯,, √১১,, √১৩,, √৫,, √২৩,, √১৯,, √১৭,, √১২,, √৩৪,, √২৭,, √১৪,, √১৯,,, √২৬,,, √৯৩,,,,
ইত্যাদি বিভিন্ন সংখ্যা হলো বাস্তব সংখ্যার উদাহরণ সমূহ।
বাস্তব সংখ্যা ও অসমতা
বাস্তব সংখ্যা এবং অসমতা হল কলেজ পর্যায়ের বিজ্ঞান বিভাগের উচ্চতর গণিত বিষয়ের একটি প্রধান ও অন্যতম অধ্যায়। প্রতিবছর এ অধ্যায়ের আলোকে বিভিন্ন ধরনের বিশ্ববিদ্যালয় বিভিন্ন প্রশ্ন এসে থাকে। এজন্য এ অধ্যায়ের বিশেষ কিছু টপিক সম্পর্কে জানার প্রয়োজনীয়তা রয়েছে।
বিভিন্ন টপিকের গুলোর মাধ্যমে উক্ত অধ্যায়টি সম্পর্কে নিম্নে আলোচনা করা হলো :-
- পরম মানের ধর্ম সমূহ:-
- ∈Ra∈R এরুপ ফাংশনের জন্য→ |a|≥0a≥0
2.a∈Ra∈R এরুপ ফাংশনের জন্য→ (a) |X| ≤a⇒−a≤X≤a,(b) |a|>|
b|⇒a2>b2a X ≤a এরুপ ফাংশনের জন্য→
-a≤X≤a,b a>b⇒a2>b2
3.a, b∈Ra, b∈R এরুপ ফাংশনের জন্য→
(a), |ab|=|ab|, (b) |abc|
=|a||b||c|(a), ab=ab, b abc=abc
4.a, b∈Ra, b∈R এরুপ ফাংশনের জন্য→ ∣∣ab∣∣=∣∣ab∣∣(b
≠0)ab=ab(b≠0)
5.a, b∈Ra, b∈R এরুপ ফাংশনের জন্য→ a) |a|+|b|≥|a+b|, (b) |a|
+|b|>|a−b|(a) a+b≥a+b, (b) a+b>a-b
মৌলিক সংখ্যা :-
যে সংখ্যাটি এক এবং ওই সংখ্যাকে অন্যান্য সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায় না সে সংখ্যা হল মৌলিক সংখ্যা। যেমন :-
২,৩,৫,৭ ইত্যাদি।
- অমৌলিক সংখ্যা:-
সাধারণভাবে যে সংখ্যা সেটের মধ্যে যে সকল সংখ্যা মৌলিক নয় সেগুলোকে অমৌলিক সংখ্যা বলা হয়ে থাকে।
যেমন :- ২,৪,৬,৮ ইত্যাদি।
সহমৌলিক সংখ্যা:-
সংখ্যা গণনার ক্ষেত্রে যদি দুটি সংখ্যার সাধারণ গুননীয়ক ভিন্ন অন্য কোন সংখ্যা পাওয়া যায় না তাহলে সে সংখ্যাগুলোকে সহ মৌলিক সংখ্যা বলে।
যেমন :-
(৩,৫),,,(৯,১০),,,(১৪,১৭),,,ইত্যাদি।
মূলদ সংখ্যা:-
যে সকল সংখ্যাগুলোকে {p/q;p,q Z, q≠0}{p/q;p,q Z,q≠0} আকারে প্রকাশ করা যায় সেই সকল সংখ্যাগুলোকে মূলদ সংখ্যা বলা হয়।
অমূলদ সংখ্যা :-
যে সকল সংখ্যাগুলোকে {p/q;p,q Z, q≠0}{p/q;p,q Z,q≠0} আকারে প্রকাশ করা যায় না সে সকল সংখ্যাগুলোকে অমূলদ সংখ্যা বলে।
পূর্ন সংখ্যার সেট :-
যে সকল সংখ্যাগুলো কে Z বা I দ্বারা প্রকাশ করা যায় সেগুলোকে পূর্ণ সংখ্যার সেট বলে।
→ ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যার সেট → Z+Z+বা I+I+
ঋণাত্বক পূর্ণ সংখ্যার সেট → z−z-বা I−I-
- এছাড়াও রয়েছে শুন্য বা ধনাত্মক বা ঋণাত্মক এর নিরপেক্ষ পজিশনে যে সংখ্যাগুলো রয়েছে সেগুলোকে শূন্য সংখ্যা বলা হয়।
বিশেষ কিছু অনুসিদ্ধান্ত রয়েছে। সেগুলো হলো
→ N⊂Z⊂Q⊂RN⊂Z⊂Q⊂R,,,
→ Q∪Q′=RQ∪Q’=R,,,,
→ Q∩Q′=∅Q∩Q’=∅,,,,,
→ Z−∪{0}∪Z+=ZZ-∪{0}∪Z+=Z,,,,
* মূলদ সংখ্যা সমূহ চেনার উপায় :-
১. যেকোনো পূর্ণ সংখ্যা। যেমন :- ৩,০,১,২,,,
২. যেকোনো দশমিক সংখ্যার পরে একটি নির্দিষ্ট অংক থাকলে। যেমন :- ২.২৪,,,,২০৭.৪৫০২১,,,০.১০২২৩,,ইত্যাদি
৩. যেকোনো দশমিক বিন্দুর পরের অংশে আবৃত দশমিক সংখ্যা যদি গেলেতা মূলত হয় সেক্ষেত্রে। যেমন :- ১.৩৩৩………, ৭.৭০৫৭০৫৭০৫………., ০.১.২৩১০২৩১০২৩………ইত্যাদি।
সংখ্যার বিভিন্ন ধরনের শ্রেণীবিন্যাস রয়েছে যার মাধ্যমে সংখ্যার সেট বিশ্লেষণ করে জানা যায় :-
১. সকল বাস্তব সংখ্যার সেট→
R = (−∞,∞)(-∞,∞)
2.মূলদ সংখ্যার সেট→
Q = {p/q; p , q∈z; q≠0}{p/q;p , q∈z; q≠0}
৩. অমূলদ সংখ্যার সেট→
Q′Q’ বা Qc= {x: x∈R, x∉Q}
=R−QQc= {x: x∈R, x∉Q}=R-Q
৪. সকল পূর্নসংখ্যার সেট নির্ণয় →
Z বা I ={0,±1,±2,±3,…….}{0,±1,±2,±3,………..}
৫. সকল ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা এবং স্বাভাবিক সংখ্যার সেট নির্ণয় → Nবা I+I+ বা Z+Z+ { 1, 2, 3, 4…….}
৬. যে সকল অঋনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা রয়েছে সেগুলোর সেট নির্ণয় → { 0, 1, 2, 3,4………}
৭. ঋনাত্বক পূর্নসংখ্যার সেট নির্ণয়→
Z−=Z-= { −∞,……., −10,…..−2, −1 }{ -∞,……., -10,…..-2, -1 }
ধনাত্মক সংখ্যা এবং ঋণাত্মক সংখ্যার মধ্যে শুন্যের অবস্থান নির্ণয় :-
বাস্তব সংখ্যার চাঁদ নির্ণয়ের ক্ষেত্রে শূন্য একটি নিরপেক্ষ সংখ্যা হিসেবে ব্যবহার করা হয়।
এক্ষেত্রে :-
একটি বাস্তব সংখ্যার সেট R হলে→
N⊂Z⊂Q⊂R,Q∪Q′=R,Q∩Q′=∮N⊂Z⊂Q⊂R,Q∪Q’=R,Q∩Q’=∮ (ফাকাসেট)।
* সীমিত সেট –
Sকে একটি বাস্তব সংখ্যার সেট হিসেবে বিবেচনা করলে,,S সেটটি সীমিতসেট হবে উর্দ্ধসীমিত এবংনিম্নসীমিত সেটের জন্য হয়।
অর্থাৎ S সেটটি সীমিত হবে,
K যদি দুটি বাস্তব সংখ্যা এবং এরূপ হয়ে থাকে।
যেমন:-
→ K≤x≤K,∀∈SK≤x≤K,∀∈S,,
উদাহরণস্বরূপ :-S = {1, ½, 1/3, ¼, 1/5, 1/6} যা একটি সীমিত সেট।
তবে – Z, Q, R এগুলো সীমিত সেট নয়।
* অসমতাকে পরমমান চিহ্নের সাহায্যে প্রকাশ করার ক্ষেত্রে:-
প্রশ্ন: -7 < x < -1 কে পরম মানের সাহায্যে অসমতায় প্রকাশ কর ?
Solution :-
(-7-1)
= -8; (-8/2)
= -4
প্রশ্ন: -5 < x < 11 কে পরম মানের সাহায্যে অসমতায়প্রকাশ কর ?
Solution :-
(-5+11)/2
= 3
বাস্তব সংখ্যা কাকে বলে উদাহরণ দাও
যে সকল সংখ্যাগুলোকে মূলত এবং অমূলদ উভয় সংখ্যার মিলন হিসেবে সংগ্রহীত করা যেতে পারে সেই সকল সংগ্রাম সংখ্যাগুলোকে বাস্তব সংখ্যা বলে।
অন্যভাবে বলা যায়, যে সকল সংখ্যাগুলো অর্থাৎ প্রাকৃতিক সংখ্যা দশমিক সংখ্যা ভগ্নাংশ সংখ্যা ইত্যাদি বিভাগের অধীনে আসার সকল সংখ্যাগুলোকে বাস্তব সংখ্যা বলা হয়।
উদাহরণসমূহ :
১০,,১১,,১২,,১৩,,১৪,, ১৫,, ১৬,, ১৭,,
১৮,,১৯,,২০।
-১,-২,-৩,-৪,-৫,-৬,-৭,-৮,-৯,-১০,-১১,-১২,-১৩,-১৪,-১৫,-১৬,
-১৭,-১৮,-১৯,-২০,,,,,,,
১/২,২/৩,৩/৪, ৪/৬,,৪/৫,,৭/৮,,৭/৯,,৫/৯,,৩/৮,,২/৯,,৫/১৮,,৪/১১,,৩/২৩,,
√৩,, ২২/৭,, √৭,, √৯,, √১১,, √১৩,, √৫,, √২৩,, √১৯,, √১৭,, √১২,, √৩৪,, √২৭,, √১৪,, √১৯,,, √২৬,,, √৯৩,,,,ইত্যাদি।
এই পোস্টের মাধ্যমে আমরা আপনাদেরকে বাস্তব সংখ্যা সম্পর্কে বিভিন্ন তথ্য আলোচনা করার মাধ্যমে জানানোর চেষ্টা করেছি।
আরো পড়ুন: শীর্ষ বিন্দু কাকে বলে
আশা করি,
আমাদের পোস্টে পড়ার মাধ্যমে আপনি বাস্তব সংখ্যা বা সংখ্যার বিভিন্ন প্রকার সম্পর্কে যে সকল তথ্য জানার ছিল অথবা জানতে চেয়েছেন তা যথাযথভাবে জানতে পারবেন এবং উপকৃত হতে পারবেন।
